第三章 时域分析法

典型控制过程及性能指标

典型控制信号

• 单位阶跃信号

$ L[1(t)] = \frac1s $

• 单位斜坡信号

$ L[t \times 1(t)] = \frac{1}{s^2} $

• 单位脉冲信号

$ L[\delta(t)] = 1 $

• 正弦信号

$ L[Asin\omega_0t] = \frac{A\omega_0}{s^2 + \omega^2} $

• 单位抛物线信号

$ L[\frac{Rt^2}{2} \times 1(t)] = \frac{R}{s^3} $

性能指标（以阶跃响应为例）

• 延迟时间 $ t_d $ ：响应上升到 $ y(\infty) $ 的 50% 时所需时间。
• 上升时间 $ t_r $ ：响应上升到稳态值 $ y(t_r) $ 时所需时间。
• 峰值时间 $ t_p $ ：响应超过稳态值到达第一个峰值（极大值）时所需时间。
• 超调量 $ \sigma \% $ ：$ \frac{y(t_p)-y(\infty)}{y(\infty)} \times 100\%$。
• 调节时间 $ t_s $ ：达到稳态过程的时间，即进入5%或者2%误差带所需时间。
• 震荡次数 $ N $ ：到达稳态时间之前穿过稳态值次数的一半

对于单调上升的单位阶跃响应来说，由于其没有震荡和超调量，因此一般用 $ t_s $ 表示调节的快速性， $ t_r $ 定义为由稳态值的10%上升至90%所用时间。

一阶系统的时域分析

数学模型

一阶系统的闭环传递函数为：

$$ \Phi(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{1}{Ts+1} $$

其中 $ T $ 称为时间常数

一阶系统单位阶跃响应

输入 $ R(s) = \frac1s $

输出 $ Y(s) = \frac{1}{s(Ts+1)} $

取反变换得 $ y(t) = 1-e^{-t/T} $

稳态值为1，呈单调上升， $ t=0 $ 时斜率为 $ 1/T $

$ t_s=3T $ 对应5%误差带， $ t_s=4T $ 对应2%误差带

因为最终数值 $ y(\infty) = 1 $ ，因此不存在稳态误差

一阶系统单位斜坡响应

输入 $ R(s) = \frac{1}{s^2} $

输出 $ Y(s) = \frac{1}{s^2(Ts+1)} $

反变换得 $ y(t) = t-T+T\cdot e^{-t/T} $

稳态值为 $ t-T $ ，稳态误差为 $ T $

稳态输出与输入的斜率相等，但是存在着 $ T $ 的滞后

一阶系统单位脉冲响应

输入 $ R(s) = 1 $

输出 $ Y(s) = \frac{1}{Ts+1} $

反变换得 $ y(t) = \frac1Te^{-t/T} $

呈单调递减且最终趋于0

改善一阶系统性能

一阶系统的性能取决于时间常数 $ T $ 的影响，因此可以改变闭环传递函数从而对时间常数进行调整，有引入常值负反馈和前向通道串联放大两种方式

• 常值负反馈

即由单位负反馈变为常值 $ \alpha $ 的负反馈，对于 $ G(s)=\frac{1}{Ts+1} $ 调整后传递函数为

$$ \Phi(s) = \frac{\frac{1}{Ts+1}}{1+\frac{\alpha}{Ts+1}} = \frac{\frac{1}{1+\alpha}}{\frac{T}{1+\alpha}s+1} $$

可见 $ \alpha $ 越大，新的传递函数的时间常数越小

• 前向通道串联放大

对于单位负反馈系统的开环传递函数 $ G(s) =\frac{k}{s} $ 其时间常数为 $ \frac{1}{k} $ ，若在其之前加入一个放大环节，即新的开环传递函数为 $ \frac{\alpha k}{s} $ ，其时间常数为 $ \frac{1}{\alpha k} $

二阶系统的时域分析

二阶系统的数学模型

$$ \Phi(s) = \frac{\theta_c(s)}{\theta_r(s)} = \frac{k}{Js^2+Fs+k} $$

其特征方程为

$$ Js^2+Fs+k=0 $$

引入参量 $ \omega_n^2 = \frac{k}{J} $ ， $ 2\zeta\omega_n = \frac{F}{J} $

其中 $ \omega_n $ 称为无阻尼自然频率或固有频率， $ \zeta $ 为无量纲的阻尼系数，又称为阻尼比（实际阻尼系数/临界阻尼系数）

二阶系统的特征根分析

由上述参量代换后，二阶系统的特征方程可以化为

$$ s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2 = 0 $$

特征方程的根为

$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1} $$

随着 $ \zeta $ 取值的不同，特征根的位置不同

• $ 0<\zeta<1 $ 时，系统有负实部的共轭复根，此时为欠阻尼状态

$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $$

• $ \zeta=1 $ 时，系统有一对相等的负实根，此时为临界阻尼状态

$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n $$

• $ \zeta>1 $ 时，系统有两个不相等的负实根，此时为过阻尼状态

$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $$

• $ \zeta = 0 $ 时，系统有两个纯虚根，此时为无阻尼状态

$$ s_{1,2} = \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $$

二阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的单位阶跃响应取决于其阻尼系数的大小，当阻尼系数 $ \zeta\geq1 $ 时，响应为无超调的单调上升曲线，当阻尼系数 $ 0<\zeta<1 $ 时，系统会发生震荡， $ \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $ 称为震荡角频率，当 $ \zeta=0 $ 时处于无阻尼状态，系统进行等幅振荡，角频率为 $ \omega_n $

在欠阻尼系统中，对于一定的阻尼比 $ \zeta $ ， $ \omega_n $ 越大，则调节时间 $ t_s $ 越小，速度越快，但系统响应的平稳性会越差

最佳阻尼比 $ \zeta=0.707(\frac{\sqrt{2}}{2}) $

欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的性能指标

• 上升时间 $ t_r $

$ t_r = \frac{\pi-\theta}{\omega_d} $

其中 $ \theta $ 为弧度

• 峰值时间 $ t_p $

$ t_p = \frac{\pi}{\omega_d} $

• 超调量 $ \sigma $

$ \sigma\% = e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\% $

• 调节时间 $ t_s $

$ t_s = \frac{4}{\zeta\omega_n} (\Delta = 2\%)$

$ t_s = \frac{3}{\zeta\omega_n} (\Delta = 5\%)$

• 震荡次数 $ N $

$ N = \frac{t_s}{\omega_d} $