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自动控制原理第三章笔记 第三章 时域分析法典型控制过程及性能指标典型控制信号单位阶跃信号$ L[1(t)] = \frac1s $单位斜坡信号$ L[t \times 1(t)] = \frac{1}{s^2} $单位脉冲信号$ L[\delta(t)] = 1 $正弦信号$ L[Asin\omega_0t] = \frac{A\omega_0}{s^2 + \omega^2} $单位抛物线信号$ L[\frac{Rt^2}{2} \times 1(t)] = \frac{R}{s^3} $性能指标（以阶跃响应为例）延迟时间 $ t_d $ ：响应上升到 $ y(\infty) $ 的 50% 时所需时间。上升时间 $ t_r $ ：响应上升到稳态值 $ y(t_r) $ 时所需时间。峰值时间 $ t_p $ ：响应超过稳态值到达第一个峰值（极大值）时所需时间。超调量 $ \sigma \% $ ：$ \frac{y(t_p)-y(\infty)}{y(\infty)} \times 100\%$。调节时间 $ t_s $ ：达到稳态过程的时间，即进入5%或者2%误差带所需时间。震荡次数 $ N $ ：到达稳态时间之前穿过稳态值次数的一半对于单调上升的单位阶跃响应来说，由于其没有震荡和超调量，因此一般用 $ t_s $ 表示调节的快速性， $ t_r $ 定义为由稳态值的10%上升至90%所用时间。一阶系统的时域分析数学模型一阶系统的闭环传递函数为：$$ \Phi(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{1}{Ts+1} $$其中 $ T $ 称为时间常数一阶系统单位阶跃响应输入 $ R(s) = \frac1s $输出 $ Y(s) = \frac{1}{s(Ts+1)} $取反变换得 $ y(t) = 1-e^{-t/T} $稳态值为1，呈单调上升， $ t=0 $ 时斜率为 $ 1/T $$ t_s=3T $ 对应5%误差带， $ t_s=4T $ 对应2%误差带因为最终数值 $ y(\infty) = 1 $ ，因此不存在稳态误差一阶系统单位斜坡响应输入 $ R(s) = \frac{1}{s^2} $输出 $ Y(s) = \frac{1}{s^2(Ts+1)} $反变换得 $ y(t) = t-T+T\cdot e^{-t/T} $稳态值为 $ t-T $ ，稳态误差为 $ T $稳态输出与输入的斜率相等，但是存在着 $ T $ 的滞后一阶系统单位脉冲响应输入 $ R(s) = 1 $输出 $ Y(s) = \frac{1}{Ts+1} $反变换得 $ y(t) = \frac1Te^{-t/T} $呈单调递减且最终趋于0改善一阶系统性能一阶系统的性能取决于时间常数 $ T $ 的影响，因此可以改变闭环传递函数从而对时间常数进行调整，有引入常值负反馈和前向通道串联放大两种方式常值负反馈即由单位负反馈变为常值 $ \alpha $ 的负反馈，对于 $ G(s)=\frac{1}{Ts+1} $ 调整后传递函数为$$ \Phi(s) = \frac{\frac{1}{Ts+1}}{1+\frac{\alpha}{Ts+1}} = \frac{\frac{1}{1+\alpha}}{\frac{T}{1+\alpha}s+1} $$可见 $ \alpha $ 越大，新的传递函数的时间常数越小前向通道串联放大对于单位负反馈系统的开环传递函数 $ G(s) =\frac{k}{s} $ 其时间常数为 $ \frac{1}{k} $ ，若在其之前加入一个放大环节，即新的开环传递函数为 $ \frac{\alpha k}{s} $ ，其时间常数为 $ \frac{1}{\alpha k} $二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型$$ \Phi(s) = \frac{\theta_c(s)}{\theta_r(s)} = \frac{k}{Js^2+Fs+k} $$其特征方程为$$ Js^2+Fs+k=0 $$引入参量 $ \omega_n^2 = \frac{k}{J} $ ， $ 2\zeta\omega_n = \frac{F}{J} $其中 $ \omega_n $ 称为无阻尼自然频率或固有频率， $ \zeta $ 为无量纲的阻尼系数，又称为阻尼比（实际阻尼系数/临界阻尼系数）二阶系统的特征根分析由上述参量代换后，二阶系统的特征方程可以化为$$ s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2 = 0 $$特征方程的根为$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1} $$随着 $ \zeta $ 取值的不同，特征根的位置不同$ 0<\zeta<1 $ 时，系统有负实部的共轭复根，此时为欠阻尼状态$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $$$ \zeta=1 $ 时，系统有一对相等的负实根，此时为临界阻尼状态$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n $$$ \zeta>1 $ 时，系统有两个不相等的负实根，此时为过阻尼状态$$ s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $$$ \zeta = 0 $ 时，系统有两个纯虚根，此时为无阻尼状态$$ s_{1,2} = \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $$二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应取决于其阻尼系数的大小，当阻尼系数 $ \zeta\geq1 $ 时，响应为无超调的单调上升曲线，当阻尼系数 $ 0<\zeta<1 $ 时，系统会发生震荡， $ \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} $ 称为震荡角频率，当 $ \zeta=0 $ 时处于无阻尼状态，系统进行等幅振荡，角频率为 $ \omega_n $ 在欠阻尼系统中，对于一定的阻尼比 $ \zeta $ ， $ \omega_n $ 越大，则调节时间 $ t_s $ 越小，速度越快，但系统响应的平稳性会越差最佳阻尼比 $ \zeta=0.707(\frac{\sqrt{2}}{2}) $欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的性能指标上升时间 $ t_r $$ t_r = \frac{\pi-\theta}{\omega_d} $其中 $ \theta $ 为弧度峰值时间 $ t_p $$ t_p = \frac{\pi}{\omega_d} $超调量 $ \sigma $$ \sigma\% = e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \times 100\% $调节时间 $ t_s $$ t_s = \frac{4}{\zeta\omega_n} (\Delta = 2\%)$$ t_s = \frac{3}{\zeta\omega_n} (\Delta = 5\%)$震荡次数 $ N $$ N = \frac{t_s}{\omega_d} $
